Déterminer l'ensemble de définition de la fonction `f` dans chacun des cas suivants :

1) `f(x)= {6x+7} /{x^3 -3x^2+ 2x} `

2) `f(x)= {sqrt(1-2x)}/{x^2-2x-8}`

3) `f(x)= sqrt({2x+3}/{5-x})`

4) `f(x)= { sqrt(2x+3)}/{sqrt(5-x)}`

5) `f(x)= sqrt({x^2-2x-15}/{x^2-x-2})`

6) `f(x)= x/{sqrt(x^2-x+3)}`

7 ) `f(x)= { sinx}/{5-abs(x-2)}`

8) `f(x)= {3x-4}/{sqrt(abs(x) -2)}`

9)
`f(x)= {sin(x-2)}/{x^2-2x} text{ si } x ne 0 text{ et } x ne 2 `

`f(2)= 1/2 `

1) Domaine de définition de la fonction `f : ` définie par `f(x)= {6x+7} /{x^3 -3x^2+ 2x} `

`D_f = { x in R text{ / } x^3 -3x^2+ 2x ne 0 } `

Soit ` x in R `

on a `x^3 -3x^2+ 2x= 0 `

`<=> x(x^2 -3x+ 2) = 0 ` `axxb =0
<=> [ a = 0 text{ ou } b = 0 ] `

`<=> x = 0 text{ ou } x^2-3x+2 = 0 `

Résolvons l'équation `( E_1 ) : x^2-3x+2 = 0 `

on a `Delta = (-3)^2 -4xx2xx1 = 9 - 8 = 1 `

comme `Delta > 0 ` alors l'équation admet deux solutions `x_1` et `x_2 `

`x_1 = {-(-3) + 1}/2 = 4/2= 2 ` et `x_2= {-(-3) - 1}/2 = {3-1}/2= 1 `

alors l'ensemble des solutions de l'équation `( E_1 ) ` est `{ 1 , 2} `

et par suite `x^3-3x^2 +2x= 0 <=> x in { 0,1,2 } `

donc `D_f= R - { 0,1,2} = ]-infty , 0[ cup ]0,1[ cup ]1,2[ cup]2,+infty[ `

2) Domaine de définition de la fonction `f : ` définie par `f(x)= {sqrt(1-2x)}/{x^2-2x-8}`

`D_f= { x in R text{ / } 1-2x >= 0 text{ et } x^2 -2x-8 ne 0 } `

Soit ` x in R `

on a `1-2x >= 0 <=> 1 >= 2x `

`<=> 1/2 >= x `

`<=> x in ]-infty , 1/2] `

Résolvons l'équation `(E_1): x^2-2x -8 = 0 `

on a `Delta = (-2)^2 -4xx(-8)xx1 = 4 +32 = 36 `

comme `Delta > 0 ` alors l'équation `( E_1 ) ` admet deux solutions `x_1` et `x_2`

avec `x_1= {-(-2) -sqrt(36)}/2 = { 2 -6}/2 = {-4}/2= -2 `

et `x_2= {-(-2) +sqrt(36)}/2 = { 2 +6}/2 = {8}/2= 4 `

alors `D_f = (R cap ]-infty ,1/2] ) - { 4 ,-2 } `

`= ]-infty , 1/2 ] -{ 4 ,-2 } `

`= ]-infty , -2[ cup ]-2 , 1/2 ] `

alors `D_f = ]-infty , -2[ cup ]-2 , 1/2 ] `

3) Domaine de définition de la fonction `f` définie par `f(x)= sqrt({2x+3}/{5-x})`

`D_f= { x in R text{ / } {2x+3}/{5-x} >= 0 text{ et } 5-x ne 0 } `

Soit ` x in R `

on a `5-x =0 <=> x = 5 `

Soit ` x in R-{5} `Déterminons le le signe de ` : {2x+3}/{5-x} `

on a `2x+3>= 0 <=> 2x>= -3`

`<=> x >= -3/2 `

On a `5-x >= 0 <=> 5 >= x `

Ainsi le tableau de signe de ` : {2x+3}/{5-x} `




et par suite `{2x+3}/{5-x} >= 0 `

`<=> x in [ -3/2 , 5 [ `

alors `D_f = [-3/2, 5 [ `